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Les mathématiques du pliage de papier |
| Il ne pas confondre : « origami et mathématiques » et « mathématiques de l'origami » * Origami et mathématiques il s'agit d'utiliser des pliages pour réaliser des démonstrations ou des constructions géométriques. Les grands classiques sont : - la trisection de l'angle (impossible à la règle et au compas, regarder How to Trisect an Angle with Origami par Numberphile), - la démonstration du théorème de Pythagore (regarder An Origami Proof of the Pythagorean Theorem par JSmithatOtterbein), - la résolution d'équations de degré 3 (lire Résolution par le pliage de l'équation du troisième degré et applications géométriques par Jacques Justin), - la confection de nœuds pentagonaux (regarder How to Fold a Pentagon and a Hexagon par cutoutfoldup). Ces curiosités mathématiques ont peu d'intérêt pour le pliage proprement dit, mais beaucoup d'autres constructions servent journellement. Les plus utilisées concernent les divisions en parties égales, la création de polygones réguliers ou la construction d'angles particuliers. * mathématiques de l'origami Il s'agit d'élaborer une théorie du pliage. En 1989, Jacques Justin établit des axiomes décrivant les opérations possibles en pliant une feuille de papier. Les axiomes 1 à 6 ont été redécouverts par le mathématicien Humiaki Huzita en 1991 tandis que Koshiro Hatori a retrouvé le septième en 2001. Ces sept propositions forment un ensemble connu sous le nom d’axiomes d’Huzita-Hatori. Les voici : 1 - Un unique pli passe par deux points P1 et P2. 2 - Un unique pli amène un point P1 sur un point P2. 3 - Un pli superpose deux droites D1 et D2 4 - Un unique pli passe par un point P1 et est orthogonal à une droite D1. 5 - Étant donnés une droite D1 et deux points P1 et P2, un pli passe par P2 et amène P1 sur D1. 6 - Étant donnés deux droites D1 et D2 et deux points P1 et P2, un pli amène P1 sur D1 et P2 sur D2. 7 - Étant donnés un point p et deux droites d1 et d2, un pli amène P sur D1 et est perpendiculaire à D2. Robert J. Lang a prouvé que cette liste d’axiomes est complète, ce qui signifie qu’aucun autre pli ne peut être fait en origami. Pour plus de détails, on peut lire : - Huzita-Hatori Axioms Wikipedia - Mathématiques et origami origamis de Léa - Les mathématiques de l'origami de Jean-Paul Delahaye. Depuis, des mathématiciens-origamistes ont fouillé le champ des mathématiques de l'origami, par exemple en étudiant les principes mathématiques qui sont cachés dans les canevas de plis. Parmi les grands résultats obtenus, on notera la vérification de la possibilité de plier réellement un canevas de plis, l'optimisation du pliage de configurations données ou le calcul de possibles séquences de plis correspondant à un canevas de plis. Des logiciels d'aide à la création de modèles complexes ont vu le jour (voir la page « Aides informatiques à la création »). Un congrès (Origami in Science, Mathematics and Education, OSME) se tient approximativement tous les 4 ans. Il rassemble la communauté des chercheurs du domaine, dont le nombre augmente exponentiellement, ce qui prouve la richesse du domaine. Les actes de ce congrès sont devenus des références absolues pour la recherche avancée dans le domaine du pliage de papier. |
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| mltrisectionangle.pdf | Trisection d'un angle par pliage, 1 page |
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Trois nœuds pentagonaux se suivent... |